Razmerje med ploščino in diagonalo v pravokotniku.

Rad imam matematiko, zato sem se odločil iskati nove formulice in podobno. Ker se nisem želel spuščati v neke n-kotnike oz. neke trikotnike, ker bi se ziher srečal s kakšno sinusno funkcijo ali pa konstanto "pi", sem zato vzel navaden pravokotnik. Vse kar trenutno vemo o pravokotnikih je, da ima prave kote (90 stopinjske). Znamo izračunati ploščino, obseg in diagonalo. Zaradi dolgega časa, sem se odločil, da poglobim misli. Želel sem odkriti neko zveznost med vsemi temi konstantami v pravokotniku. Pa začnimo!

Na začetku sem se moral soočiti z dejstvom, da nimam veze v kaj se bom spustil. No, začel sem s tem, da je R (oziroma črka k - po učbenikih) razmerje med stranicami. Torej je:

Torej še enkrat: stranica a ulomljeno s stranico b je enaka razmerju med stranicama oz. na kratko razmerje stranic v pravokotniku.Vse lepo in prav. Probajmo narediti nekaj novega iz te črke R. Recimo izrazimo ploščino. Iz zgornje enačbe izpostavimo stranico a in dobimo:

Iz dobljene enačbe sedaj naredimo enačbo za ploščino. V osnovi vemo, da je ploščina v pravokotniku enaka produktu obeh stranic. No, izpostavljeno imamo stranico a, pa začnimo:

Ni blo težko, kajneda? Torej je potemtakem stranica a in b enaka (po istem postopku):

No, gremo na drug konec, na diagonalo. Vemo, da se računa po pitagori, torej kvadrat diagonale je enak vsoti kvadratov stranic a in b. Sedaj bomo namesto podatka stranic a in b vključili novonastali formuli. Sledi:

Kar lepo se izzide. Torej že moj naslov navaja nekaj čudnega, razmerje med ploščino in diagonalo v pravokotniku! Prejšnja enačba ima obe neznanki, zatorej ju združimo in izpostavimo, najprej pa: 

Torej nov izraz vstavimo v prejšnjo formulo in izpostavimo P/e^2. Celotno enačbo nato potenciramo z (-1) (zato ker R^2+1/R ni zvezna funkcija in je grafično zelo zakomplicirana). Dobimo naslednje:

Dobili smo osnovno formulo, ki jo želim predstaviti v tej objavi (razmerje med ploščino in diagonalo). Torej z besedami: "Razmerje med ploščino in kvadratom diagonale je enak količniškem razmerju. Formula za količniško razmerje je enaka desni strani prejšnje enačbe, torej (vpeljimo novo črko za to razmerje, naj bo Rx):

Torej formula je potem poenostavljena v obliki P/e^2 = Rx. No kaj pomembnega je v tej formuli. Izračunamo lahko razmerje stranic samo preko ploščine in diagonale. Drug takšen veliko večji pomen je dokaz, da je ploščina premice enaka 0. Tretji pomen pa je odvajanje te funkcije, ki nam pove idealno razmerje med ploščino in diagonalo: iz tega sledi, da je idealno razmerje 1 (Rx = 0,5), kar je stacionarna točka in maksimum, ko odvajamo funkcijo Rx(R). Pa začnimo s prvim pomenom.

I. (Uporabnost)

Kako priti iz formule Rx izpostaviti R (zelo je težavno, saj lahko zabredemo v težave - v števcu in v imenovalcu je naša neznanka). Poenostavimo Rx enačbo in dobimo: 

                                                           

Dobimo kvadratno enačbo, ki jo rešimo s pomočjo formul (za iskanje ničel), edina rešitev, ki jo dobimo po logiki je:

S tem smo izrazili nazaj razmerje stranic. To je enačba, s katero lahko iz ploščine in diagonale (dobimo količniško razmerje). Torej razmerje stranic dobimo iz količniškega razmerja po tej formuli. Uporabnost; sedaj lahko računamo po enačbi P/e^2 količniško razmerje, nato izračunamo razmerje in z lahkotoma izračunamo (po prejšnjih formulah) vse dane podatke o tem pravokotniku.

II. (Pravokotniški ideal)

Druga ideja uporaba zgornje formule je iskanje ničle diskriminante (koren v ulomku mora biti enak 0). Torej: 

Po odpravljanju korena (s potenciranjem) dobimo edino rešitev Rx = 0,5. (Količniško razmerje ne mora biti negativno) Kaj to pomeni? To je takšen Rx, ki je idealen tj. pravokotnik, ki ima razmerje ploščine in diagonalo najbolj idealno (torej je Rx takšnega pravokotnika največji, in ni drugega pravokotnika, ki nima večjega količniškega razmerja kot tak, ki ima količniško razmerje = 0,5).

Na kratko, če povzamem. Samo en pravokotnik ima Rx = 0,5. Preko zgornjih enačb lahko dobimo razmerje stranic; pri Rx = 0,5 je R = 1. Torej, je edini idealni pravokotnik kvadrat, ki ima največje količniško razmerje izmed vseh štirikotnikov. To lahko dokažemo preko odvoda in grafa funkcije Rx.

Graf funkcije Rx:

Y os je Rx, X os je R. Razvidno je, da je graf funkcije najvišji pri y = 0,5 in pri vrednosti x = 1. Kar predstavlja in dokažuje prejšnjo trditev, da je Rx(0,5) = 1 (Rx = 0,5, R pa 1).

Tretji dokaz je preko odvoda funkcije Rx. Ko odvajamo po pravilu količnika, rabimo iskati ničle števca.  Torej: 

Trije dokazi so dokončani. Kvadrat je dokazano pravokotniški ideal.

III. Ploščina premice - dokaz.

Eden izmed dokaznih gradiv za tole objavo je ploščina premice. 

(SLEDI)